Canadien-français né à Springfield au Massachusetts, Norm Dussault a passé son enfance au Québec. Un athlète assez fort pour passer ses étés à jouer au baseball semi-professionnel, Dussault devient un professionnel du hockey à 20 ans, paraphant un contrat avec les Clippers de Baltimore de la Eastern American Hockey League en 1945-1946.

Une saison de 71 points dont 35 buts dans la Ligue de Hockey provinciale du Québec l’hiver suivant, attire l’attention de l’organisation des Canadiens, qui donne sa chance au jeune ailier gauche pour 28 matchs en 1947-1948. Grâce aux 15 points qu’il accumule durant cette période, Dussault se taille une place permanente chez les Canadiens l’année suivante.

Dussault, surnommé «Ti-Nomme», tout comme un personnage de bande dessinée connu, est un marchand de vitesse, électrisant la foule du Forum grâce à ses efforts soutenus durant trois saisons complètes.

Dussault réussit avec beaucoup d’efficacité à contrer les plus gros et les plus grands ailiers droits, se lançant tête première dans le mêlée, malgré son petit gabarit de 5 pieds 8 pouces, 165 livres. Il utilise sa vitesse et son aisance avec la rondelle pour mener la contre-attaque du Tricolore.

Après une deuxième saison de 17 points, Dussault émerge en 1949-1950 en obtenant sa meilleure production offensive en carrière, marquant 13 buts et aidant ses coéquipiers à 24 reprises. Son total de 37 points lui confère le quatrième rang des pointeurs des Canadiens cette saison. Il mène les marqueurs de Montréal en séries éliminatoires, alors qu’il touche le fond du filet trois fois, ce qui fait de lui le seul joueur de l’équipe à marqueur plus d’un but.

Un mouvement de jeunesse du côté gauche de l’équipe amène un trio de jeunes espoirs chez les Canadiens en 1951-1952. Jeune vétéran à seulement 25 ans, Dussault décide de s’exiler dans la QSHL, jouant quatre saisons avec les Saguenéens de Chicoutimi. Il connaît la popularité et la productivité, accrochant ses patins à la fin de la saison 1954-1955.